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안녕하세요.

 

자계미남 입니다.

 

정말 오랜만에 인사드리는 것 같아요.

 

이제곧 분가를 할 예정이어서

 

혼수를 장만하고, 집을 수리하는데 정신이 너무 없어서

 

포스팅이 뜸했어요.

 

사실 조금씩이라도 포스팅을 하려고 했는데

 

도배부터, 장판, 전기공사까지 셀프로 진행할 예정이어서

 

저는 살면서 벽지 뜯는게 이렇게 어려운지 처음알았어요...

 

너무 정신없고 힘이든 나머지

 

미루다 미루다 이제야 포스팅 하게 됬네요.

 

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오늘은 지난 포스팅에 이어서

 

노드해석을 할때 왜 행렬로 나타내야만 하는지.

 

행렬로 나타내면 도대체 뭐가 좋길래

 

복잡한 행렬식으로 표현하려고 하는지에 대해서 기술해보겠습니다.

 

 

 

왜 우리는 노드해석을 행렬로 나타내는게 유리할까요??

 

공학에서 계산하는 수치는

 

사람이 일일히 손으로 노가다 계산하는게 아니라는 점은

 

비전공자인 여러분들도 충분히 유추할 수 있는 부분이라 사료됩니다.

 

우리가 실제로 쓰는 보드나 반도체는 회로가 매우매우 복잡하죠.

 

 

이런 복잡한 반도체 회로의

 

노드별 전압이나 전류특성을 이해하는 것은

 

손으로는 불가능해 보이기까지 합니다.

 

그렇다면 이렇게 복잡한 회로 전압 전류치는

 

어떻게 계산을 할까요???

 

다들 예측하셨다시피

 

컴퓨터로 하겠죠.

 

그렇다면 주로 어떤 소프트웨어를 사용하는지가 궁금할 수 있겠군요.

 

사실 좋은 소프트웨어야 너무나 많지만

 

가장 유명한 공학툴은

 

단연 매틀랩이 아닐까 생각합니다.(지극히 개인적인 생각)

 

 

 

 

매틀랩은 쉽게 말해서.

 

아주 복잡한 연립방정식을

 

행렬 기반으로 표현하여 아주 간단하게 계산해주는 툴입니다.

 

과거에 전력시스템 공학을 공부하면서

 

조류계산 프로그래밍 개발 경진대회에 나가본적이 있는데

 

이때 사용했던 방법이 뉴튼-랩슨 방법의 비선형 연립 n차 방정식을

 

역행렬로 변환하여 수치해석 하는 코딩 과정이

 

있었는데.

 

이때 n차 방정식의 역행렬을 계산하는게 얼마나 어려운건지 몸소 느꼈습니다.

 

그도,, 그럴것이

 

겨우 학부생 지식 수준으로 프로그램 개발에

 

4개월을 썼으니까요.

 

지금까지 한얘기는 비전공자에게는 다소 어려운 이야기일 수 있고...

 

별로 중요한 얘기는 아니었습니다 ㅎ.

 

여튼 결론은.

 

우리가 노드해석을 구지 행렬로 나타내야하는 이유는

 

복잡한 회로해석을 행렬로 표현함으로써 매틀랩을 사용할 수 있게되고

 

결국은 우리가 궁금해하는 전류나 전압을

 

손쉽게 구할수 있기 때문이죠.

 

---

 

그럼... 설명을 위해서

 

지난 시간 예제를 다시 끌고와볼게요.

 

 

지난시간에 해석했던

 

예제는

 

저항과 전류원의 수치가

 

각각 상수 값으로 표현되었죠.

 

근데 말입니다....

 

만약...

 

전류원 및 저항이

 

상수가 아니라

 

문자로 표현되있다면,

 

어떤 숫자라도 문자대신 대입하여

 

일반화 할 수 있으므로

 

수식 계산에 유리하겠죠.

 

지난 시간에

 

사용했던 그림을 또 가져와보면....

 

 

위 그림에는 수치가 적혀있죠?

 

예를들어

 

I1 = 1[A]

I2 = 1[A]

.

.

.

 

 

숫자가 없다고 생각하고 문제를 풀어봅시다.

 

 

 

우리는 지금.

 

V1과 V2

 

I(X)와 I(Y)의

 

관계를

 

연립방정식으로 나타내 볼 겁니다.

 

이때부터 우리가 배웠었던 회로이론 기초지식들이 마구 들어가기 시작하죠.

 

옴의 법칙을 통해서.

 

첫 번째 도출할 수 있는 수식

 

V1 / R1 = I(X)  ..... 1번식

 

 

그다음 도출할 수 있는 수식

 

V2 / R2 = I(Y) ..... 2번식

 

여기서 짚고 넘어갈게 있어요.

 

구해야하는 값과 주어진 값을 정리해야죠.

 

R1과 R2는 문자로 표현하긴 했지만 상수입니다.

 

미지수는 V1, V2, I(X), I(Y)

 

총 4가지 이기 때문에

 

이 문제를 풀기 위해서는

 

방정식은 4개가 필요하겠죠.

 

1번식과 2번식은 구했습니다.

 

 

 

그다음 도출할 수 있는 수식은?

 

KCL을 이용하여.

 

아래 그림처럼 두가지 수식을 추가로 더 구해낼 수 있죠.

 

 

I1 + I(X) = I2 + (V1-V2)/R3  ..... 3번식

I2 + (V1-V2)/R3 = I(Y)  ..... 4번식

 

자 총 4가지 변수에 4가지 수식이 완성되었어요.

 

지금까지 구한 수식을 간결하게 총정리.

 

V1 / R1 = I(X)  ..... 1번식

 

V2 / R2 = I(Y) ..... 2번식

 

I1 + I(X) = I2 + (V1-V2)/R3  ..... 3번식

 

I2 + (V1-V2)/R3 = I(Y)  ..... 4번식

 

1번부터 4번까지 수식을 사용하여 행렬로 표현해볼께요

 

3번식의 I(X)를 1번식인 V1/R1으로 대입하면

 

3번식은 아래처럼 바뀔겁니다.

 

I1 + V1/R1 = I2 + (V1-V2)/R3

 

마찬가지로

 

4번식의 I(Y)를 2번식인 V2/R2로 대입하면

 

I2 + (V1-V2)/R3 = V2/R2

 

가 되겟죠.

 

우리의 목적

 

전압과 전류의 행렬관계를 파악하는 것 이죠.

 

그렇다면

 

잘은 모르겠지만

 

수식은 아래 형태로 표현되겠죠.

 

이렇게만 표현 된다면

 

전압과 전류의 관계를

 

단순히 저항값만으로 매틀랩에 표현하여

 

관계식을 도출할 수 있을 것 같아요.

 

I1 + V1/R1 = I2 + (V1-V2)/R3

 

I2 + (V1-V2)/R3 = V2/R2

 

이제 두개의 수식을 약간 변형해보죠

 

먼저 첫 번째 수식

 

V1/R3 - V2/R3 - V1/R1 = I1-I2

 

V1(1/R3 -1/R1) - V2/R3 = I1-I2

 

그다음 두 번째 수식

 

V2/R2 - V1/R3 + V2/R3 = I2

 

-V1/R3 + V2/(1/R2+1/R3) = I2

 

아마도 이 수식의 행렬은

 

 

이렇게 표현되겠죠.

 

한마디로.

 

저항값을 알고 전압값만 찍어버리면.

 

해당노드의 전류치가 계산되는거죠.

 

 

이게 2 X 2 행렬이 아니라

 

N X N 행렬일때도 마찬가지로 표현되겠죠.

 

혹은 역행렬 계산을 통해서

 

V1과 V2의 값을 구해낼 수도 있겠습니다.

 

매틀랩은 자율주행 자동차 연구에도 사용됩니다.

 

자동차의 게인값을 모델링하거나

 

시뮬링크를 통하여 미리 자동차의 동적 특성을 추정하는데 요긴하죠.

 

이후에 매틀랩의 기능에 대해서 자세히 다룰 포스팅이

 

있을 것 같네요.

 

여튼.

 

오늘 결론은?

 

노드해석을 행렬로 표현해주는 이유는

 

복잡한 수식을 컴퓨터로 풀어내기 위해서 이고

 

부가적인 이유는

 

공돌이는 컴퓨터를 사용하여 문제를 해결하는데

 

친숙해져야 하기 때문.

 

 

오늘은 여기까지 하도록 하죠!

 

끝.

안녕하세요.

 

자계미남이에요.

 

오늘부터 앞으로 몇몇 포스팅은 회로를 해석하는 방법에

 

대해서 기술하고자 해요.

 

---

 

노드해석 방법이 과연 왜 회로 해석에 필요한가?

 

여러분.

 

회로를 해석한다는 것이 뭘 의미하나요?

 

이전에도 끊임없이 포스팅 하였듯... 어떤 챕터를 배울때에는

 

뭘 배워야하고, 왜 배워야하며, 어디에 쓰이는지 아는 것이 중요하다고 말씀드린바 있죠.

 

 

우리가 공부하는 회로이론은

 

어쨋든

 

눈에 보이지 않는 에너지(전기)를

 

제어하여 우리가 원하는 방법대로 써먹고 싶다는 사실에

 

근거를 두고 있어요.

 

에너지를 제어한다는 것은

 

추상적인 개념을 내마음대로 움직일 수 있다는 것인데.

 

에너지도 추상적인 의미인데

 

에너지를 제어하기 위한 추상적인 요소는 더 알쏭달쏭하죠?

 

 

하지만 인류는 언제나 그랫듯

 

추상적인 요소를 발전시키고 새로 정립하면서

 

새로운 이론과 법칙을 만들어 냈고

 

결과적으로 보이지 않는 에너지(전기)를

 

마음대로 움직일 수 있게 되었는데요.

 

여기까지가 바로 서론이었습니다.

 

노드 해석이라는 것은 쉽게말해

 

회로에서 우리가 늘 궁금해하는 값

 

1. 전압

2. 전류

 

를 구하기 위한 수학적인 테크닉이랍니다.

 

우리는 옴의 법칙으로부터

 

전압 = 전류 * 저항

 

이라는 사실을 익히 알고 있죠.

 

저항은

 

우리가 연결하는 어떤 것이라도 될 수 있으며 상수 값입니다.

 

저항은 예를들어

 

드라이기도 될 수 있고

 

선풍기도 될 수 있고

 

에어컨,

 

컴퓨터,

 

휴대폰 충전기등

 

기타 등등의 모든 접속 기구들이 저항이라고 생각하시면 되겠습니다.

 

 

팬을 접속하면 팬에 걸리는 전압이 얼만지

 

휴대폰 충전기에 걸리는 전압이 얼만지

 

우리는 이미.

 

옴의법칙과 직, 병렬 회로 해석에서 배운바 있죠.

 

결과적으로 우리의 궁극적인 목적은

 

이때 배웠던 결과물(가지의 전압, 전류)과 동일합니다만.

 

어디에 포커스를 맞추어 해석을 하겠느냐가 다릅니다.

 

예를 들어볼까요?

 

아래 회로를 봅시다.

 

 

화살표 접지모양을

 

기준점으로 두고

 

R1의 양단에 걸리는 전압을 V1

 

화살표 접지모양을

 

기준점으로 두고

 

R2양단에 걸리는 전압을 V2라고

 

정의하면 이렇게 그림이 그려지겠지요.

 

 

노드해석의 기본적인 테크닉중

 

첫 번째는

 

전위의 기준점을 정하고

 

두 번째는

 

나머지 노드에 노드 임의의 전압을 할당합니다.

 

예를들어서 위 그림에서 V1과, V2가 바로 노드에 임의의 전압을 할당한 모습이겠지요.

 

참고로... I1과 I2는 이상적인 전류원이므로 전압이 없습니다.

 

이렇게 정해주었으면

 

세 번째는

 

각각의 노드에 대해서 KCL을 적용하는 것인데요.

 

자...

 

여기까지 설정했다면 모든 절차가 끝났습니다.

 

미지수는 전압인

 

V1과 V2이고

 

기지값인

 

저항과 전류를 바탕으로 문제를 해결코자 합니다.

 

목적은 V1이 얼마이고

 

V2가 얼마이냐를 알아내는 건데요.

 

---

 

노드 해석이 요긴한 이유는

 

눈에 안보이는 전압 레벨을

 

수치화하여 엔지니어에게 한눈에 보여줄 수 있기 때문인데

 

엔지니어 입장에서 어떤 노드가 전압이 높은지 알 수 있다는 것은

 

전류의 흐름이 어떻게 나타나는 가를 판별할 수 있는 중요한 기준이 됩니다.

 

왜냐고요?

 

전압이 높은데서 낮은곳으로  전류가 흐르려는 전기의 본연의 성질 때문이죠.

 

전기를 제어하는데 보다 요긴하겠죠.

 

이러한 테크닉이 보다 발전하면

 

PSSE등의 프로그램 조류를 다이어그램으로 표현할 수 있게 되는데요.

 

 

조류라는 것은 전력의 흐름이 어디에서 어디로 이루어지고 있고.

 

낭비되는 전력이 어느정도인지를 수치화 하여 표현할 수 있게끔

 

만들어놓은 소프트웨어를 의미합니다.

 

과거에 학부생시절이었을때

 

전력시스템 설계 과목에서

 

조류계산 소프트웨어를 만들겠다고

 

3개월동안 4시간 자고

 

초췌한 모습으로 마침표를 찍었던 프로그램이 생각나네요 ㅎ

 

이후에 전력시스템 포스팅을 올리면 전력시스템 조류계산에 대해서 자세하게 말씀드리겠습니다.

 

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여튼..

 

노드해석은 중요해요!

 

다시한번 문제를 가져와봤습니다.

 

 

우린 지금 V1과 V2 노드의 전압이 얼마인가를 알고싶습니다.

 

그렇다면 어떤 방법으로 구할 수 있을까요?

 

먼저 아래를 보세요.

 

R1에 흐르는 전류를 I10 이라고 가정하고

 

R2에 흐르는 전류를 I20 이라고 가정하면

 

R1에 흐르는 전류는

 

I10 = V1/R1

 

R2에 흐르는 전류는

 

I20 = V2/R2

 

입니다.

 

전류의 방향은 어떻게 될까요?

 

기준점이 삼각형 표시로 되어있고

 

기준점은 항상 0전위니까

 

높은 전압에서 낮은 전압에서 전류가 흐른다는 이치에 따라서

 

이렇게 표현되겟죠.

 

 

V1과 V2를 구하기 위해선 I10과 I20이 얼마인지만 알아내면 될 것 같습니다.

 

근데 I10과 I20을 어떻게 알아내야 할까요?

 

정답은

 

키르히호프 전류법칙에 있어요.

 

들어오는 전류와 나가는 전류는 같고 중간에 생기거나 소멸하지 않는다는 거.

 

예전에 손에 피가마르도록 타이핑 했습니다 ㅎ

 

 

이 그림을 보시면 

 

나머지는 납득이 가실것이나

 

좀 이상한점이 있죠.

 

I30은 왜 양방향 화살표로 표시했느냐?

 

V1과 V2중 어느곳의 전압이 높은지 모르기 때문이죠.

 

어쨋든 왼쪽 혹은 오른쪽으로 전류가 흐를것이니 양방향 화살표로 표시했습니다.

 

하나씩 차근차근 봅시다.

 

상식적으로 I11은 I1과 같은 전류가 흐를 수 밖에 없겠죠.

 

설명은 생략합니다.

 

너무 당연하니까요

 

I11 = 1[A]

 

마찬가지로

 

I21 = 1[A]

 

일단은 

 

그림을 조금더 풀어서 해석해볼게요

 

 

I30이 왼쪽으로 흐를지 오른쪽으로 흐를지 모르겟지만 일단 오른쪽으로 흘러간다고

 

가정했습니다.

 

계산해보니 I30이 -값이 나온다면 왼쪽으로 흐르는 거겠죠.

 

그리고 A지점으로 들어가는 전류와 나가는 전류는 같을테니.

 

I11 = I21 + I30 + I10

 

이 되겠지요.

 

마찬가지로 B지점으로 들어가는 전류와 나가는 전류도 같을겁니다.

 

따라서

 

I20 = I30 + I21

 

이 되겠지요.

 

 

여기서 우리는

 

옴의 법칙으로부터

 

I10과 I20을 각각

 

I10 = V1/R1 = V1/1 = V1 

 

I20 = V2/R2 = V2/1 = V2

 

라는 사실을 알고있으며

 

I30도 

 

I30 = (V1 - V2) / R3 = (V1-V2) / 1 = V1-V2

 

라는 사실을 알고 있어요. 

 

그렇다면

 

I11 = I21 + I30 + I10

 

은 위에서 구했던 수식의 결과를 통합하여 따져보았을때

 

1 =  1 + V1 - V2 + V1

 

이라는 첫 번째 수식을 얻을 수 있습니다.

 

결국 정리하면

 

2*V1 = V2인 셈이죠

 

그 다음 수식을 봅시다.

 

I20 = I30 + I21

 

은

 

V2 = V1 - V2 + 1

 

정리하면

 

2 * V2 = V1 +1

 

그렇다면 두 수식은 연립방정식으로 풀어봅시다.

 

V2 = 2*V1을 이용하여 V2대신 대입하면

 

2* (2*V1) = V1+1

 

4*V1 = V1 +1

 

3*V1 = 1

 

V1 = 1/3 = 0.3333333....[V]

 

V2 = 2/3 = 0.6666666...[V]

 

즉 V2는 V1보다 전압이 두배 높으니

 

I30은 사실은

 

 

 

이 방향이 아니라

 

 

이 방향으로 흘렀겠지요.

 

또한 R3에 흐르는 전류인 I30의 크기는

 

I30 = (V2 - V1) / R3

 

 

이므로

 

0.333333..........[A]

 

이겠죠.

 

지금 풀었던 이러한 연립방정식에 의한 해법은

 

정말 별거 아닙니다만.

 

나중에 매틀랩을 사용하게 되면

 

행렬기반으로 문제를 많이 해석하는데

 

노드해석을 통해 행렬을 만드는 것이 매우매우 중요해집니다.

 

이러한 연립방정식을 어떻게 행렬로 표현하는지에

 

대해서는 다음 포스팅으로 이어나가야 할 것 같군요.

 

오늘은 여기까지입니다.

 

끝!.