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지난시간에 이어서 오늘은 수식유도를 수학적으로

 

유도하는 과정을 한번 진행해보도록 합시다.

 

X4라는 스위치가 열린상태로 있다가.

 

외부의 힘을 받아서.

 

탁 닫혔을때, 과연 어떤 형태로 그래프가 그려질까?

 

 

우리가 궁금한건.

 

인덕터 전류 I가 시간에 따라서 어떻게 변화하느냐 입니다.

 

  우리는 이번엔. 지난시간과 다르게 수식유도를 진행할 예정입니다.

 

이유는. 미분방정식이라는게 굉장히 복잡하기 때문입니다.

 

그래서 우리는 경험에 근거한 추측성 사실을 바탕으로 결과를 미리 예측하고

 

그런 추측성 사실이 진짜인지 아닌지를 검증할 겁니다.

 

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지난시간(RC 회로의 미분방정식 풀이 포스팅)엔

 

키르히호프 법칙을 사용하여 폐회로의 회로상태를 유도하였죠.

 

근데. 우리는

 

지난  RC회로의 미분방정식 풀이 포스팅에서

 

아래와 같은 결론을 얻었습니다.

RL회로도 RC회로와 같이 소자만 바뀌었을뿐이지

 

실제론 L이나 C나 그 수식이 비슷할거라 추측할수 있는데요.

 

그렇다면 문제가 더 쉽게 풀리지 않을까?

 

 

생각해볼 수 있죠.

 

수학적인 테크닉을 가지고 말이죠.

 

위 수식을 잘 나눠보면

 

 

자연로그 e에 관련된 지수함수로

 

응답이

 

나타나는 1부분과

 

시간과 관련없이 전압원에서 정전압을 출력하는

 

V(s)로 나뉜다는 사실을 알 수 있죠.

 

즉,

 

RC 회로의 시간에 따른 전압은

 

시간에 따라 변화하는 1부분

 

시간에 따라 변화하지 않는 2부분

 

으로 나뉜다는 사실을 알 수 있습니다.

 

여기에서.

 

1부분은 자연응답 = 과도응답 이라고도함.

 

2부분은 강제응답 = 정상응답 이라고도함.

 

이라고 명칭되어 사용 됩니다.

 

그림에서 보면 바로 

 

곡선구간이 나타나는 저부분이 

이 성분인거고.

 

그리고 직선구간이 나타나는 저부분이

 

이 성분인거죠.

 

우리는 RL 회로의 미분방정식 풀이를 하지 않았지만.

 

RL 회로도 RC회로와 비슷한 .

 

에너지 저장 소자라는 사실을 알고 있으며,

 

이로 미루어보면 분명 RL회로도 지수함수 형태의 그래프를 띈다고

 

추측할 수 있습니다.

 

우선은 지수함수 형태의 그래프를 띄는지 안띄는지는 수식을 유도하고

 

차후 검증하면 되는것이고.

 

우선은 지수함수로써

 

인덕터 전류 I 가 어떻게 변화하는지 알아보도록 하죠.

 

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우린 인덕터 전류가 궁금하다 하였었죠.

 

인덕터 전류는 수식유도는 잘모르겠고

 

우선은 결론을 먼저 짓고 시작할게요.

 

이 수식도 자세히보면,

 

시간에 따라 전류가 변화하는 i(t) 부분과

 

시간에 따라 전류가 변화하지 않는 i(steady) = i(sy) 부분으로

 

나뉜다는 걸 미리 결론으로 깔고 들어가자는 겁니다.

 

그리고 RC회로를 유도하면서 우리는 경험치를 높일 수 있었습니다.

 

과도응답은. 지수함수 형태로 감쇄한다는 사실을 알았죠.

 

그래서 우리는 아래 사실을 도출할 수 있습니다.

 

i(t)가 어떻게 생겨먹었는진 모르겠는데

 

일단 이렇게 정의할 순 있겠다.

 

고 생각하고 문제를 접근하는 겁니다.

 

아니 A는 뭐고 지수함수에 저딴 형태는 어떻게

 

알 수 있는거냐고 따질 수 있겠죠?

 

그야 과거에도 그랬으니까.

 

이번에도 추측할 수 있는 것(맞는지 틀린진 모름)이죠.

 

과도상태라는 것이 자연로그 함수로 표현되며

 

제곱 부분에 시간축은 -형태로 존재한다는 사실도 알고.

 

다만, RC와 RL과 다른부분은 시정수인

 

RC, L/R 부분인건데. 

 

이거는 사실. 키르히호프 법칙을 실제 유도했을때나

 

확인할 수 있는 부분이긴 합니다.,

 

어쨋든. 결론을 먼저 지어놓고 역으로 맞는지 검증하기로 했으니까.

 

한번보죠.

 

지금 우선 과도응답 부분은 정리가 됬군요., 

 

정상응답은 쉽습니다.

 

 

회로를 보면 전압원 V(s)가.

 

R에 미치는 영향만 조사하면 되는거니까.

 

이런 수식이 만들어질 수 있는거죠.

 

정리하면 시간이 충분히 흐른뒤에 L4(인덕터)는

 

회로에 영향을 주지 못한다는 의미.

 

정답은 그래서 사실 이겁니다.

 

A를 구하기 위해서는 

 

t = 0을 대입했을때 상황을 따져보면됩니다.

 

t가 0이되면, R이나 L값에 상관없이

 

자연로그 함수는 1이 될 것이고요.

 

수식은 이렇게 정리될 겁니다.

 

V(s)는 전압원이니까 상수

 

R도 상수

 

I = 초기에 인덕터에 흐르는 전류

 

가 되겠죠.

 

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자. 사실 이 수식유도는

 

완전 개판 엉망입니다.

 

저는 대학생때 이러한 수식유도가 너무 화가났습니다.

 

결론을 알고서 답을 내리면 이건 논리 비약을 넘어서

 

호기심 가득한 학생의

 

배움을 우롱하는 행위 아닌가?

 

지금 생각해보면 이런 논리적인 비약이 너무자주. 매우많이 일어나서

 

안그래도 어려운 전기공학을 더 어렵게 느껴

 

모든 수식과 논리를 이해없이 중간, 기말을 잘보기위해 단순 암기만 했었다는

 

사실이 화가납니다.

 

 

사실 이러한 수식을 보고 이렇게까지 생각하는 사람은

 

저뿐이었는지도 모르겠습니다.

 

엔지니어는 창의적으로 생각할 수 있어야 합니다.

 

사실 저는 물류자동화 설계엔지니어로 약 6년간 일하면서

 

느끼건데.

 

지금 배우고있는

 

이런 수식유도 따위는 중요하지 않습니다.

 

누군가 훌륭한 툴을 이미 만들어놨고 난 그걸 몇번의 마우스

 

클릭으로 해결할 수 있는 틀이 이미 갖춰졌거든요.

 

그런데. 그러한 엔지니어들도

 

어떠한 문제를 해결하는 과정에서는 적당한 논리가 필요합니다.

 

논리라는 것은 기초에 근거해 쌓일 수 있는것이라 믿습니다.

 

헌데 대학의 교과서가

 

이런식으로 써져있는게 저는 너무 화가났습니다.

 

기초가 아니라. 그냥 책에 똑같은 수식유도 하기 귀찮아서 대충 넘어가는 걸로

 

보였달까요?

 

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어쨋든. 저는 여러분이 배웠던 키르히호프 법칙 고대로 써서 수식

 

유도해보겠습니다.

 

 

위 수식에 키르히호프 법칙을 적용하면

 

아래와 같이 수식을 유도할 수 있습니다,

 

이 수식을 이렇게 표현해볼까요?

다시한번 정리해보겠습니다.

 

 

양변을 시간으로 적분해보겠습니다

 

 

di라고 써져있는 

 

적분인자 역시. 시간에 따른 변수임을 상기하면서

 

다시 정리하면.

 

또한 번 정리하면...

 

ln의 차는 수식 나눗셈으로 표현될 수 있죠?(공학수학 참고)

 

이 수식에서 양변에 e인 자연로그를 취해봅시다.

 

그럼 결과는.

 

이수식 어디서 많이 보지 않았나 싶네요.

 

일단 분모를 삭제해봅시다.

 

여기서 수식을 i에 대해서 정리하면.

 

 

우리가 처음에 정리했던 수식과 동일한 수식이 되는겁니다.

 

 

 

사실 제가

 

수학을 그닥 잘하는 편도 아니고.

 

공부한지도 너무 오래되서.

 

수식정리는 애를 참많이 먹네요

 

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이로써.

 

모든 회로이론의 포스팅을 마무리 하겠습니다.

 

원래는 조금더 회로이론 관련 포스티을 진행할까 했는데.

 

이제 전공 초기 과목을 마치고. 상위 과목으로 넘어가도 될 듯 합니다.

 

 

 

지금까지의 긴 공부 여정에 따라와주셔서 감사합니다.

 

아직 확실히 커리가 정해지지 않았지만

 

다음에는

 

제어공학이나 전기기기를

 

포스팅으로 소개할 예정입니다.

지난 시간에 설명한 글을 보니

 

그래프를 잘못 첨부해놨더라고요.

 

원래는 시간 전압 그래프를 표현하여야 하는데

 

시간 전류로 표현되어 있어 이를 수정하였습니다(23.04.23)

 

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사실 RL회로는 RC회로와 너무 비슷한 구성이므로

 

세세하게 지난번과 같이 설명할 필요는 없겠습니다.

 

그저 이번 회로는 어떤 부분을 중점적으로 보아야 하는지를 말씀드리는 선에서

 

포스팅 마치겠습니다.

 

RL회로 미분방정식 풀이 & RL회로 미분방정식 관련

 

디테일한 내용들은 다음 포스팅에서 진행하는걸로 하죠.

 

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RL 회로는 이렇게 생겼습니다.

 

이 역시도 RC회로와 마찬가지로. 원래는

 

끊어져있던 회로가 타이머라든가 릴레이와 같은

 

제어소자에 의해

 

 

X4 스위치가 갑자기 탁하고 붙게 되면서

 

회로가 구성되게 되는데요.

 

이떄, G7이라는 건전지를 통해서

 

저항과 인덕터에 전류를 주게되면 어떤 특징이

 

생기는지 궁금했던 겁니다.

 

이러한 특성을 개략적으로 흐름을 이해하는게

 

오늘 공부하는 목표입니다.

 

 

이미, RC 회로에서 그 개략적인 회로 구성을 설명해드렸었는데

 

회로상 소자만 커패시터에서 인덕터로 바뀐 모습입니다.

 

처음에는 스위치 X4가 개방되어있어 L에 어떠한 전류도 흐르지 않다가

 

X4가 일정시간이 되면 갑자기 탁 하고 닫히면서,

 

G7 전압원이 R7 저항을 거쳐 L4 인덕터에 전류를 주게 됩니다.

 

그랬던 결과가 뭐였죠?

 

제가 비트코인 차트 얘기하면서

 

세부 그래프를 확대하면 어떤 모양이 된다고 설명드렸었죠???

 

↓

 

네. 실제 회로는 스위치를 갑자기 닫았더라도

 

갑자기 값이 1이 되지 않고 천천히 올라가는 형상을 띄다가

 

비로소 1이 된다고 하였었죠.

 

1이 되기전 아주짧은 그시간을 과도상태라 하고

 

1이 되고난 이후의 상태를 정상상태라고 합니다.

 

말로는 이해가 어려우니 아래 그림을 봅시다

 

↓

 

2회전 포스팅에서

 

RC회로의 계단응답 특성은 아래와 같이 나타난다고

 

설명드린바 있습니다.

 

여기서 우리는 전압이 1[V]에 다다르기 이전까지

 

즉, 1초에서 1초+몇초? 까지 과도상태라고 표현하고

 

1초+몇초 이후를 정상상태라고 표현합니다.

 

그럼....

 

오늘 배울 회로의 시간 전류 그래프를 그려보겠습니다.

 

 

형상은 똑같습니다. 더 설명할게 없어요.

 

그럼.

 

RL은 뭐가다를까요?

 

차이점을 보아하니

 

Y축의 주체가 전압에서 전류로 바뀌었다는게

 

다른거 같습니다.

아...

 

뭔가 깨달은거 같습니다.

 

RC와 RL의 차이점은

 

전압이 주인공이냐

 

전류가 주인공이냐

 

의 차이이구나

 

이전에 공부했던것과 결부지어보면

 

커패시터는 전압이 갑자기 변하지 않는다고 하였고

 

인덕터는 전류가 갑자기 변하지 않는다고 하였습니다.

 

즉, 우리는 이번차수에서도

 

주제가 다르지만

 

커패시터와 인덕터의 특성을

 

다시한번 이해할 수 있는겁니다.

 

분명 R이라는 또다른 소자. 스위치 및 전압원이 있음에도 불구하고

 

고유한 수동소자의 성질은 그대로 회로에 남아있습니다.

 

향후. 여러분이 전장설계 엔지니어로 근무하시든

 

아니면 유관분야에 근무하시든

 

이러한 기초소자의 기본적인 특성을 이해하면

 

실무에 도움이 되는 경우가 많습니다.

 

 

지금 배운것과

 

내용은 다르지만 아래 내용은

 

실무에서 사용하는 내용입니다.

이러한 회로는 여러분이 학교외 회사에서

 

자세한 원리를 알려주지 않습니다.

 

다만, 여러분이 공부했던 지식을 바탕으로

 

'이 회로는 어떻게 작동하는구나'를 이해하고 쓰느냐

 

아니냐의 차이입니다.

 

 

폭넓게 내용을 이해하고 있는 엔지니어는

 

제품의 메이커보다 자세히 알 수는 없지만

 

어떠한 제품을 만들때 발생하는 오류를 더 쉽게 파악할 수 있습니다.

 

위 회로는 SEW라는 회사의 정류기 회로인데.

 

결선작업자가 실수해서 정류기가 터졌다고 생각해봅시다.

 

내부 회로를 모르는 사람은 새로운 물건을 교체하겠지만

 

세부 소자를 어느정도 이해하고 있는 사람은 적어도

 

테스터기로 저항을 찍어볼겁니다.

 

RD, WH 를 테스터기로 찍었더니

 

저항이 무한대가 나오면 BS코일이 단선됬구나 알 수 있고,

 

전압 또한 다이오드에 순방향으로 걸렸는지 역방향으로 걸렸는지까지

 

위 회로를 보고 추적할 수 있습니다.

 

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 RL 회로를 설명하다 뜬금없이 이얘기를 설명하는 이유가 머냐구요

 

자. 어느새 길고 길었던 회로이론 포스팅이

 

앞으로 몇개의 포스팅만 더하면 

 

마무리가 되는거 같아요

 

여러분의 머리속에는 어떠한 내용이 남았나요?

 

포스팅이 거의 끝나가는 시점에

 

여러분의 머리속이 꽉 채워졌길 바라며

 

이번포스팅 마치고 다음 포스팅에 미분방정식 풀이를 진행하겠습니다.

중간고사 이후의 포스팅

 

그러니까. 횟수로치면 지지난번 포스팅 이후

 

약간의 공학 수학 관련 수식이 들어가서 헷갈리거나 어려우실 수 있으실테죠.

 

아무래도 전기라는 학문이 자연현상을 활용하여

 

경제적인 효과를 누리고자 하는 학문이다보니

 

약간의 수식들이 사용되는 경우가 많습니다.

 

저는 사실 수학을 잘하진 않아서 수학을 폭넓게 이해하고 있진 않습니다만,

 

 

대학을 나온 분이라면 대부분 배우는 기초지식(공학수학 정도)

 

까지는 공부를 해두시는 편이 좋겠습니다.

 

만약 나는 대학을 안나왔으면 어떻게 해야하나?

 

그런 분들은

 

전기라는 포괄적인 개념을 이해하면 됩니다.

 

제가 포스팅에 대해서 수식에 대해 최소한으로 다루는 이유가 있습니다.

 

실무에서 엔지니어로 뛰는 경우

 

실질적인 수식은 컴퓨터가 알아서 다해줍니다.

 

나는 전체적인 개요를 바탕으로 소프트웨어를 적절하게 구사하면 되고,

 

스스로 욕심이 있어서 더 깊게 알고싶다 하시면 공부하시면 됩니다.

 

쉽게말해 수식적인 이해도 중요하지만

 

보다 중요한건 전기라는 자연현상이 어떻게 생겨먹었는지

 

그전 체적인 모습을 기억하는게 더중요하단 겁니다.

내몸의 세포가 어떻게 이루어져있는지

 

DNA구조(수식에 대한 이해)까지는 알지못하지만

 

사람은 사람을 서로 알아볼 때 아주 세세한 DNA따위 몰라도.

 

서로를 이해하는데 전혀 문제가 없습니다.

 

심지어 남녀관계 처럼 복잡한 여러 호르몬의 상호작용이 존재하는 고도의 사고 및 심리현상에도

 

우리는 그 원인을 분석하지 않습니다. 있는 그대로를 받아들일 뿐이죠.

 

우리는 아무것도 모르지만 fall in love 하죠.

 

비유가 적절한진 모르겠으나.

 

전기도 그렇습니다.

 

실무를 뛰기 위해서 그정도만 알면됩니다.

 

내가 연구개발하는 사람이 아니라면요.

 

서두가 길었습니다.

 

오늘은 무전원 RL 회로를 알아보겠습니다.

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우선, 무전원 RL 회로는 이렇게 생겼습니다.

 

 

무전원 RL회로 역시도.

 

이자체의 회로로는 의미가 없습니다.

 

전위가 없으니 말이죠.

 

하지만 어떠한 이유에서건

 

전기가 흐르다가 어떤 연유에서건 갑자기 끊어진 직후의

 

상황을 생각해보자는 겁니다.

 

원래는 RL회로는 이렇게 생겼을 겁니다.

 

 

G5가 원래는 전위를 형성하여

 

R을 거치고 L에 전류를 통해주는 상황에서

 

G5가 끊어졌을때의 상황을 공부하는 것은(무전원 RL 회로를 배우는 목적).

 

앞으로 수많은 전기제품에서 이러한 현상이 응용되어 활용될 예정이며,

 

실제로 이러한 원리가 활용되는 제품을 접했을 때

 

우리는 이러한 현상을 수식으로 배움으로써

 

보다 깊은 지식을 흡수할 수 있습니다.

 

원래 전공서적들을 보면 냅다 수식부터 해석합니다.

 

아니요. 저는 그렇게 안하겠습니다.

 

여러분들이 전공서적을 보고도 제 글을 읽고 있는건 여러가지 이유가 있겠으나

 

그중 하나가, 책이 잘 이해가지가 않아서

 

공부차원에서 읽는 것일테니...

 

무전원 RL회로란건

 

우리가 지금까지 배웠던 V = I * R로 해석될 수 있습니다.

 

아니요.

 

정확히 말하면 V = I * Z로 해석될 수 있습니다.

 

R과 Z가 무슨차이냐고요??

 

R은 저항(OHM)

 

Z는 저항, 인덕턴스, 커패시턴스(OHM, HENRY, FARAD)

 

V = I * R 의 상황이라면

 

전원이 인가된 회로에서 갑자기 전압원을 뺏을때 상황이 그닥 의미가 없어요,

 

단순하게 생각해보세요.

 

G5 전압원이 전기를 주다가 갑자기 뺏습니다.

 

G5가 사라집니다.

 

잠시라도 R에 흐르는 전류가 있나요?

 

V = I * R 옴의 법칙에 의하면

 

V가 사라지면 I = 0입니다.

 

근데 저항 R이 아니라 여기에다가

 

임피던스 성분중 하나인 L과 C 좀 다르다는 겁니다.

 

V = I * R이 아니라

 

V= I * Z를 적용해야 하거든요.

 

우리가 기존에 배웠던 공식

 

V = L * dI / dt

 

Q = C * V

 

라는 특수한 성질 때문에

 

전압원을 끊어도 미세한 전류가 남아있는 시간이 아주 잠시동안 있다는 거에요.

 

그래서 우리는 무전원 RL 회로 무전원 RC 회로를 배우는 겁니다.

 

그 미세한 전류가 아주잠시 남아있는 시간동안

 

쌓여있는 에너지를 활용하여

 

수많은 반도체 및 로봇을 개발하였거든요.

 

V = L * di / dt

 

라는 공식에서 알 수 있듯이

 

시간의 따른 전류 변화는 1차 함수 그래프로 나타낼 수 없습니다.

 

저항은 그게 가능했지만요.

 

Q = C * V도 마찬가지에요

 

Q를 시간에 대해 미분하면 전류가 나옵니다 (Q = I * t)

 

그러면 위 수식을 시간에 대하여 양변을 미분하면

 

I = C * dV / dt

 

커패시터 역시도 시간과 전류의 그래프가 1차 함수 그래프로 나타낼 수 없습니다.

 

저항은 그게 가능했지만요!

 

여튼 이러한 성질때문에

 

전압을 끊어도 아주 잠깐 동안은 RL 회로 및 RC 회로에는 전류가 남아있을 수 있습니다.

 

우리는 무전원 RL 및 무전원 RC 회로에서

 

전원을 갑자기 끊었을때

 

전류가 어떠한 형태로 떨어지는지가 궁금해서

 

미분방정식을 풀이하는거라 보시면됩니다.

 

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수식정리를 지난 강의에서는 했는데

 

포스팅을 시작한 본질이 좀 흐려지는거 같아서

 

이번에는 무전원 RL회로에 대한

 

수식정리를 하지 않았습니다.

 

사실 포스팅을 진행하며 여러분들이 어떤 부분들이 궁금할지를 끊임없이 고민하고 올리는데

 

피드백이 없어서

 

수식에 대한 이해가 고픈건지

 

개략적인 이해가 고픈건지 잘모르겠습니다 ㅎ.

 

수식정리 부분에 대한 이해가 어려우신 분들은

 

피드백 주시면

 

향후 포스팅에서 수식관련된 부분도 함께 다뤄보도록 하겠습니다.

 

고맙습니다.