[회로이론] 전원없이 저항과 커패시터를 연결하면 어떻게 될까?

우리는 지금까지,

 

모든 전기회로에서 흔히보이는 보이지 않는 아주 기초적인 부품

 

저항, 커패시터, 인덕터 (수동소자)와

 

연산증폭기 (능동소자)

 

에 대해서 공부했었습니다.

 

 

지금부터는,

 

배웠던 기초들이 서로 결합될 때

 

어떻게 응용할 수 있고,

 

실무에 어떻게 적용되는지 알아볼 시간입니다.

 

사실 우리가 사용하는 휴대폰 및 컴퓨터에는

 

 

모두 인덕터, 커패시터, 저항등이 존재합니다.

 

수많은 인덕터, 커패시터, 저항등이 적절하게 배열되어

 

비로소 반도체가 될 수 있고, 이것을 잘 응용하면

 

비로소 컴퓨터와 휴대폰이 될 수 있는 것이죠.

 

 

대체 어떻게 저항 커패시터 인덕터를 조합하여 휴대폰을 만들 수 있었는지

 

어떻게 이것이 훗날 컴퓨터가 될 수 있었는지 궁금하지 않으세요?

 

물론, 이 몇개의 포스팅으로 반도체의 원리, 컴퓨터의 원리를 밝힐 순 없으며,

 

저 또한 모든 회로의 동작을 100% 이해하고 있지는 않습니다,

 

 

다만,

 

우리는 이번챕터를 공부하게 됨으로써 어떤식으로 부품(R, L, C)을 조합해야 내가

 

원하는 방향대로 전기를 통제할 수 있는지 배울 수 있을 겁니다.

 

학생 여러분이라면 여러분이 현재 배우는 이지식이 훗날

 

관련 분야에 취업하여 실무에 투입 되었을때 큰 도움이 될 것이라 확신합니다.

 

 

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우리가 오늘 본격적으로 배워 볼 것은 전원이 없는 RC 회로입니다.

 

 

다만 여기에 약간의 상황을 가정한뒤 설명을 진행할 예정입니다.

 

커패시터는 C4는 전기를 저장할 수 있다 하였습니다.

 

우리는 이 소자에 초기에 에너지가 저장되어 있다고 가정하고

 

회로를 해석해 볼 겁니다.

 

"그렇담 이런 무전원 RC 회로가 과연 언제쓰일까?"

 

궁금증이 생길 수 있겠죠?

 

무전원 RC 회로는 사실 어떠한 목적을 가지고 만들었다기 보다는

 

직류 전원이 갑자기 끊어질때 발생하는데요.

 

예를 들어 이런겁니다.

 

 

그림을 보면,

 

G4는 자연스레 R4에 전기를 공급하며 열을 발생하며 에너지를 소비하고 있고,

 

G4는 자연스레 C5에 전기를 보냄으로써 에너지를 충전하고 있습니다.

(위 회로가 이해가 안가시는 분은 지난 포스팅을 참고해주세요)

 

여기서 전압원인 G4 가 어떤 이유에서건 끊어진겁니다.

 

그러면 이런 그림이 나올겁니다.

 

초기에 전기를 공급했던 전압원이 존재했기에

 

위 커패시터는 양단에 전압이 형성될 수 있습니다.

 

전압원이 없고 모두 수동소자인데 전압이 있다니 이상하죠?

 

비정상적인 상태는

 

정상적인 상태로 돌아가려는게 자연의 이치입니다.

 

때문에 C4에 존재하는 전압도 언젠가 소멸할 것이라는 자연스런 생각이 듭니다.

 

헌데 어떻게 소멸될까요?

 

지난 포스팅에서.

 

좀 오래되긴 했네요.

 

저항은 전기의 흐름을 막는 거라고 설명드린 적 있었죠.

 

엄밀히 말하면 전자가 이동할때 양성자와 부딪혀 에너지를 잃게 되는데.

 

그때 에너지 손실량이 열로써 나타나게 됩니다.

 

여러분이 집에서 쓰는 전기난로 자동차에 있는 엉따.

 

모두 같은원리에요.

 

다시 본론으로 돌아와서.

 

 

우리는 위 그림을 보면서 아래와 같이 사고 실험을 해볼 수 있을겁니다.

 

사고 실험

1. 전원이 차단된 직후 C4에 초기 전압이 존재할 것이다.

 

2. 하지만 C4 전압은 곧 소멸될 것이다.

 

3. R3 저항이 열로써 모두 에너지를 소모할 것이니까.

 

말로써는 그럭저럭 이해가 가는데 수학적으로도 그런지 한번 볼까요?

 

사고 실험 1번에 가정했던 C4 초기 전압을 V(0) 라고 가정해볼게요

 

키르히호프 법칙을 적용해보겠습니다.

 

폐루프를 회전하는 전류의 합은 항상 0이다.

 

때문에

 

아래 수식이 성립합니다

 

I(R) + I(C) = 0

 

여기서

 

I(R)은 V(0) / R 로 표현할 수 있고

 

I(C)는 Q=C*V 공식에서 양변을 시간으로 미분해

 

I(C) = C* dV/dt 를 구한뒤

 

대입하면 됩니다.

 

정리하면,

 

v(0) / R3 + C * dV / dt = 0

 

인건데요.

 

여기서 의미하는 수식이 잘 이해가 되지 않으니

 

약간의 수학적인 테크닉을 통해서 수식이 의미하는 바를

 

알아챌 수 있게 끔 깔끔하게 만들어 볼게요.

 

위 수식은 잘 정리하면 아래와 같습니다.

 

dV / v(0) = -{1 / (R*C) * dt}

 

양변을 시간으로 적분해볼게요

 

ln(v) = -t / (R*C) + ln(A)

 

이걸 더 정리해보면

 

ln(v / A) = -t / (R*C) .... 수식 1

 

 

(이 수식이 이해가 가지 않는 분들은 공학수학을 배우셔야 하는데, 사실 시험볼

 

목적이 아니라면 모른다고 좌절하지 마시고 수식유도는 가볍게 읽고 넘어가시면 됩니다.)

 

여기서 수식1을 지수함수로 표현을 해볼게요

 

v(t) =  A*e^(-t / R*C)

 

근데 v(0) 즉 무전원 RC 회로에서 전원을 차단했을때 전압이 V(0) 이니까

 

A = V(0)

 

더 수식을 정리하면,

 

v(t) = V(0)*e^(t / R*C) ..... 결론

 

겁나 어렵고 이해도 안가고...

 

왜 이렇게 복잡하게 난리를 피웠냐구요?

 

우리는 수많은 수식 삽질끝에

 

비로소 위 수식을 시간과 전압 그래프로 나타낼 수 있는 수식을 얻었는데.

 

사실 사고 실험에서는

 

시간이 지나면 전압이 저항의 열로 소멸될 것이라는 추론만 가능했는데

 

수식으로 표현하니 어떻게 전압이 변화하는지 구체적으로

 

시간을 알 수 있게 되었습니다.

 

내가 궁금했던. 아니. 그러니까 여러분이 궁금하지 않아도 알아야 하는 이 장황한 수식은

 

바로 무전원 R, C 회로에서 어떻게 전압이 시간에 따라 변화하느냐를

 

나타내는 디테일한 지침인겁니다.

 

수학적으로요.

 

http://www.datasheet.hk/view_download.php?id=1794507&file=0398%5Cnfr21gd4701012l_4377544.pdf

 

위 그림은 여러분이 앞으로 전장 설계를 맡게 되었을때

 

소자의 특성을 그래프로 나타낸 기술적인 특성을 확인할 수 있도록 표현한 Datasheet 인데요.

 

RC 필터에서 나타나는 저 지수함수와 같이

 

대부분의 차단기 밑 RC 필터는

 

이렇게 지수함수 모양을 하고 있습니다.

 

실제로 엔지니어로 일하게 되면, 저렇게 디테일한 부분까지는 몰라도 되지만.

 

원리정도는 알고 있어야 엔지니어로써 역량이 더 성장할 수 있겟죠?

 

포스팅이 길었네요.

 

저는 이만 물러가고

 

다음 포스팅에 또다른 회로를 들고 나타나도록 하겠습니다.