안녕하세요.
자계미남이에요.
오늘부터 앞으로 몇몇 포스팅은 회로를 해석하는 방법에
대해서 기술하고자 해요.
노드해석 방법이 과연 왜 회로 해석에 필요한가?
여러분.
회로를 해석한다는 것이 뭘 의미하나요?
이전에도 끊임없이 포스팅 하였듯... 어떤 챕터를 배울때에는
뭘 배워야하고, 왜 배워야하며, 어디에 쓰이는지 아는 것이 중요하다고 말씀드린바 있죠.
우리가 공부하는 회로이론은
어쨋든
눈에 보이지 않는 에너지(전기)를
제어하여 우리가 원하는 방법대로 써먹고 싶다는 사실에
근거를 두고 있어요.
에너지를 제어한다는 것은
추상적인 개념을 내마음대로 움직일 수 있다는 것인데.
에너지도 추상적인 의미인데
에너지를 제어하기 위한 추상적인 요소는 더 알쏭달쏭하죠?
하지만 인류는 언제나 그랫듯
추상적인 요소를 발전시키고 새로 정립하면서
새로운 이론과 법칙을 만들어 냈고
결과적으로 보이지 않는 에너지(전기)를
마음대로 움직일 수 있게 되었는데요.
여기까지가 바로 서론이었습니다.
노드 해석이라는 것은 쉽게말해
회로에서 우리가 늘 궁금해하는 값
1. 전압
2. 전류
를 구하기 위한 수학적인 테크닉이랍니다.
우리는 옴의 법칙으로부터
전압 = 전류 * 저항
이라는 사실을 익히 알고 있죠.
저항은
우리가 연결하는 어떤 것이라도 될 수 있으며 상수 값입니다.
저항은 예를들어
드라이기도 될 수 있고
선풍기도 될 수 있고
에어컨,
컴퓨터,
휴대폰 충전기등
기타 등등의 모든 접속 기구들이 저항이라고 생각하시면 되겠습니다.
팬을 접속하면 팬에 걸리는 전압이 얼만지
휴대폰 충전기에 걸리는 전압이 얼만지
우리는 이미.
옴의법칙과 직, 병렬 회로 해석에서 배운바 있죠.
결과적으로 우리의 궁극적인 목적은
이때 배웠던 결과물(가지의 전압, 전류)과 동일합니다만.
어디에 포커스를 맞추어 해석을 하겠느냐가 다릅니다.
예를 들어볼까요?
아래 회로를 봅시다.
화살표 접지모양을
기준점으로 두고
R1의 양단에 걸리는 전압을 V1
화살표 접지모양을
기준점으로 두고
R2양단에 걸리는 전압을 V2라고
정의하면 이렇게 그림이 그려지겠지요.
노드해석의 기본적인 테크닉중
첫 번째는
전위의 기준점을 정하고
두 번째는
나머지 노드에 노드 임의의 전압을 할당합니다.
예를들어서 위 그림에서 V1과, V2가 바로 노드에 임의의 전압을 할당한 모습이겠지요.
참고로... I1과 I2는 이상적인 전류원이므로 전압이 없습니다.
이렇게 정해주었으면
세 번째는
각각의 노드에 대해서 KCL을 적용하는 것인데요.
자...
여기까지 설정했다면 모든 절차가 끝났습니다.
미지수는 전압인
V1과 V2이고
기지값인
저항과 전류를 바탕으로 문제를 해결코자 합니다.
목적은 V1이 얼마이고
V2가 얼마이냐를 알아내는 건데요.
노드 해석이 요긴한 이유는
눈에 안보이는 전압 레벨을
수치화하여 엔지니어에게 한눈에 보여줄 수 있기 때문인데
엔지니어 입장에서 어떤 노드가 전압이 높은지 알 수 있다는 것은
전류의 흐름이 어떻게 나타나는 가를 판별할 수 있는 중요한 기준이 됩니다.
왜냐고요?
전압이 높은데서 낮은곳으로 전류가 흐르려는 전기의 본연의 성질 때문이죠.
전기를 제어하는데 보다 요긴하겠죠.
이러한 테크닉이 보다 발전하면
PSSE등의 프로그램 조류를 다이어그램으로 표현할 수 있게 되는데요.
조류라는 것은 전력의 흐름이 어디에서 어디로 이루어지고 있고.
낭비되는 전력이 어느정도인지를 수치화 하여 표현할 수 있게끔
만들어놓은 소프트웨어를 의미합니다.
과거에 학부생시절이었을때
전력시스템 설계 과목에서
조류계산 소프트웨어를 만들겠다고
3개월동안 4시간 자고
초췌한 모습으로 마침표를 찍었던 프로그램이 생각나네요 ㅎ
이후에 전력시스템 포스팅을 올리면 전력시스템 조류계산에 대해서 자세하게 말씀드리겠습니다.
여튼..
노드해석은 중요해요!
다시한번 문제를 가져와봤습니다.
우린 지금 V1과 V2 노드의 전압이 얼마인가를 알고싶습니다.
그렇다면 어떤 방법으로 구할 수 있을까요?
먼저 아래를 보세요.
R1에 흐르는 전류를 I10 이라고 가정하고
R2에 흐르는 전류를 I20 이라고 가정하면
R1에 흐르는 전류는
I10 = V1/R1
R2에 흐르는 전류는
I20 = V2/R2
입니다.
전류의 방향은 어떻게 될까요?
기준점이 삼각형 표시로 되어있고
기준점은 항상 0전위니까
높은 전압에서 낮은 전압에서 전류가 흐른다는 이치에 따라서
이렇게 표현되겟죠.
V1과 V2를 구하기 위해선 I10과 I20이 얼마인지만 알아내면 될 것 같습니다.
근데 I10과 I20을 어떻게 알아내야 할까요?
정답은
키르히호프 전류법칙에 있어요.
들어오는 전류와 나가는 전류는 같고 중간에 생기거나 소멸하지 않는다는 거.
예전에 손에 피가마르도록 타이핑 했습니다 ㅎ
이 그림을 보시면
나머지는 납득이 가실것이나
좀 이상한점이 있죠.
I30은 왜 양방향 화살표로 표시했느냐?
V1과 V2중 어느곳의 전압이 높은지 모르기 때문이죠.
어쨋든 왼쪽 혹은 오른쪽으로 전류가 흐를것이니 양방향 화살표로 표시했습니다.
하나씩 차근차근 봅시다.
상식적으로 I11은 I1과 같은 전류가 흐를 수 밖에 없겠죠.
설명은 생략합니다.
너무 당연하니까요
I11 = 1[A]
마찬가지로
I21 = 1[A]
일단은
그림을 조금더 풀어서 해석해볼게요
I30이 왼쪽으로 흐를지 오른쪽으로 흐를지 모르겟지만 일단 오른쪽으로 흘러간다고
가정했습니다.
계산해보니 I30이 -값이 나온다면 왼쪽으로 흐르는 거겠죠.
그리고 A지점으로 들어가는 전류와 나가는 전류는 같을테니.
I11 = I21 + I30 + I10
이 되겠지요.
마찬가지로 B지점으로 들어가는 전류와 나가는 전류도 같을겁니다.
따라서
I20 = I30 + I21
이 되겠지요.
여기서 우리는
옴의 법칙으로부터
I10과 I20을 각각
I10 = V1/R1 = V1/1 = V1
I20 = V2/R2 = V2/1 = V2
라는 사실을 알고있으며
I30도
I30 = (V1 - V2) / R3 = (V1-V2) / 1 = V1-V2
라는 사실을 알고 있어요.
그렇다면
I11 = I21 + I30 + I10
은 위에서 구했던 수식의 결과를 통합하여 따져보았을때
1 = 1 + V1 - V2 + V1
이라는 첫 번째 수식을 얻을 수 있습니다.
결국 정리하면
2*V1 = V2인 셈이죠
그 다음 수식을 봅시다.
I20 = I30 + I21
은
V2 = V1 - V2 + 1
정리하면
2 * V2 = V1 +1
그렇다면 두 수식은 연립방정식으로 풀어봅시다.
V2 = 2*V1을 이용하여 V2대신 대입하면
2* (2*V1) = V1+1
4*V1 = V1 +1
3*V1 = 1
V1 = 1/3 = 0.3333333....[V]
V2 = 2/3 = 0.6666666...[V]
즉 V2는 V1보다 전압이 두배 높으니
I30은 사실은
이 방향이 아니라
이 방향으로 흘렀겠지요.
또한 R3에 흐르는 전류인 I30의 크기는
I30 = (V2 - V1) / R3
이므로
0.333333..........[A]
이겠죠.
지금 풀었던 이러한 연립방정식에 의한 해법은
정말 별거 아닙니다만.
나중에 매틀랩을 사용하게 되면
행렬기반으로 문제를 많이 해석하는데
노드해석을 통해 행렬을 만드는 것이 매우매우 중요해집니다.
이러한 연립방정식을 어떻게 행렬로 표현하는지에
대해서는 다음 포스팅으로 이어나가야 할 것 같군요.
오늘은 여기까지입니다.
끝!.
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