자.
지난시간에 RC회로의 계단 응답을 배우는 목적과 개요를
설명드렸습니다.
오늘 알아볼건. 수식 유도입니다.
수식유도라고해서 지레 겁먹을 필요 없습니다.
어차피 수식은 자연 현상을 이해하는 도구중 하나일뿐.
사람은 직관을 가지고 있기 때문에.
어떤 방법이건 전기라는 자연현상을 이해하기만하면 됩니다.
어차피 자연은 100% 이상적인 학문이 아닙니다.
가벼운 마음으로 읽고 따라와주세요.
지난 시간에 배웠던 RC 회로였습니다.
내용을 다시 리마인드해보면.
G6이라는 전원이
R6를 통해 C6로 전원을 인가해주는데
1초 후 X4 스위치가 갑자기 연결된 경우
어떤일이 벌어질까?
지난시간에 화두를 던지고 갔던 내용입니다.
자 오늘은 수학적인 방법으로 이러한 전류전압 특성을 알고싶기에
다소 어려울 수 있지만 수식을 끌고오도록 하겠습니다.
최대한 쉽게 쉽게 설명할테니.
포기하지말고 따라와 주세요.
우선 X4 스위치가 열려있는 시간 시간.
그러니까 0~1초까지는
CASE 0~1초
이 회로는 사실상
해석하는 의미가 없습니다.
도선이 끊어져있기 때문이죠.
전류가 흐르지 않는 회로는 그닥 의미가 없습니다.
공학적으로 이용할 가치도 없고요.
해서 우리는 지난시간에 배웠던 그림에서
CASE 2 1초 ~ 1+T 초(오늘의 주제)
그래프를 보니 뭔가 직선보다는 곡선에 가까워 미분이나 적분같은 수식이 따라오는 느낌이네요.
오늘 우리는 최종적으로 수식유도를 통해 T초가 몇초 인지를 알아낼겁니다.
그리고 제어공학에서는 이를 과도응답이라 합니다.
과도응답이라하면 쉽게 설명해서 정상상태가 되기 전까지 시간입니다.
예를들어 자동차의 제로백을 생각하면 쉽습니다.
나는 엑셀을 분명히 100km/h(정상상태) 에 다다를 수 있게끔
풀악셀을 밟았습니다.
근데 자동차는 밟는 순간 바로 100km/h에 도달하나요?
이는 차마다 다 다릅니다.
부가티같은 차는 성능이 좋아 확나가는 반면
제차는 한 10초? 12초??ㅎㅎㅎㅎ
걸린것 같아요.
여튼 중요한건 이겁니다.
내가 입력을 갑자기 인가하게 되면 짧은 시간동안.
저런 과도상태가 있고 그다음에 내가 원했던 정상상태가 온다는 것.
밑에서 수식으로 저 과도상태를 해석해볼게요.
CASE 2 1+T 초 이후
이때는 사실상
전원을 인가하고 있는 RC회로와 다름없습니다.
수식은 너무간단합니다.
G6에 발생되는 전압 + R6에서 소모하는 전압 + C6에 저장되는 전압 = 0
Q = C * V
V = I * R
키르히호프 법칙
이 세가지만 알면 전류전압 특성을 구할 수 있습니다.
이부분은 패스하도록 하겠습니다.
초기에(0초에서 1초사이 구간에) 커패시터에
이미 충전된 전압 V(1-)가 존재했다고 가정해봅시다
그리고 X4를 닫아 갑자기 전기가 통하게 되었더라도
커패시터는 갑자기 전압이 변화할 수 없으므로
(이해안가면 커패시터 포스팅 참고)
초기 충전된 전압이. 그대로 유지될 겁니다.
한마디로 스위치를 닫기전이던 닫고나서든
그사이에 아주 짧은시간 동안은 커패시터의 초기 충전된 전압이
회로에 영향을 미친다는 사실을 알 수 있습니다. 그게 아무리 미미하다고 하더라도요
우리는 따라서 스위치를 닫은 바로직후의 값인 V(-1)을 알 수 있습니다.
이 상태는 사람이 상상할 수 없을정도로 아주짧고 찰나의 순간
V(-1)은 바뀔겁니다.
우리는 위 수식을 키르히호프 전류법칙으로 풀 수 있을 것 같습니다.
Q = C * V라고 하였습니다.
여기서 양변을 시간으로 미분하면
라는 수식을 얻을 수 있죠.
이는 커패시터에 흐르는 전류를 나타낸 수식입니다.
그리고 또하나의 수식을 얻을 수 있죠.
뭐냐면.
커패시터에 초기에 충전된 전압 V(cap)과 전압원V(S)의 전위차에
의해 저항 R의 전류가 결정된다는 사실이죠.
수식으로 나타내면 이렇겠죠.
압니다. 여러분의 머리속
(아니 u(t)는 갑자기 어디서 튀어나온건데???)
이게 u(t)의 함수모형입니다.
그래프에서 전압이 팍튀는 시간은 1초이고
전압도 1[v]입니다.
중요한건 단위라는 개념을 내포하므로 1이라는 숫자가 들어가있는
계단모습 그래프라 보시면됩니다.
이 그래프는 우리가 의미를 부여하기 위한 함수를 인위적으로 나타낸 것으로 보시면 되는데
얘는 과도기간이 없습니다.
과도기간이 없게끔 우리가 정의를 내린 함수거든요.
여튼.
일정시간동안 전압이 없다가 갑자기 팍하고 생기는.
수식에서 보면 V(-1)이라는 커패시터에 충전된 초기전압이
시간에 따라(스위칭 상태) 변화하므로 단위(1)계단응답이 곱해진거라 생각하시면 됩니다.
문제상 1초까지는 u(t) = 0이고 1초 이후부터는 1이겠죠.
....
여튼 수식을 정리해보면 이렇습니다.
양변을 c로 나누어 다시정리해볼까요
위 수식에서 - 부호를 없애기 위해서 +기호만 보이게끔
이항했습니다.
u(t)는 우리가 스위치를 닫은 그순간을 측정하는 것이기 때문에
1이 되는 것을 알 수 있고.
수식은 조금더 간단해집니다.
u(t)가 사라졌으니 정리를 다시해볼까요?
한번더 정리를 해야겠네요
V(cap)을 V로 치환하겠습니다.
자 여기서 우리는 양변을 그냥 적분해도 되지만.
그렇게되면 수식이 매우 복잡해져 해석이 어려우니.
(이미해봤음.)
약간 수학적인 테크닉을 사용할겁니다.
자연로그 ln을 끌고올건데요
먼저 위 수식을 이렇게 바꿔보겠습니다.
양변을 시간에 대해 적분 때리겠습니다.
여기서 중요한건 V(S)는 전압원이므로 상수. R, C도 상수
V는 시간에 따른 변수(커패시터 전압)이므로
이를 유념해 적분값을 계산해보겠습니다.
자연로그의 뺄셈은 나누기와 같다는 성질을 상기하여
정리해보죠
여기서 다시 시간에 대해 적분을 때립니다.
자연로그 ln을 지수함수 형태로 표현하면 ln이 사라진다는 것 쯤은 상식이니 패스하겠습니다.
이 수식을 V(t)에 대해 정리하면 이런 수식이 나옵니다.
LAST
알았습니다.
왜 그래프가 둥글게 나타나는지.
자 우리는 위 수식에서 생각해볼 수 있어요.
시간이 0초일때는 수식이
V(s) - V(-1) - V(s)
즉, 처음엔 커패시터에 충전된 전압밖에없다는걸...
그러다가. t가 RC를 곱한값과 같아지는 순간.
우리는 이 RC를 시정수라 표현하고
이값이 목표값을 0.632 만큼 도달하는데 걸리는 시간이라고 정의합니다.
이러한 수식을 찾았다면,
매틀랩이라는 훌륭한 도구를 활용하여 T값이 얼마인지 찾아낼 수 있습니다.
사람이 손으로 계산할 수 있찌만.
비효율적입니다.
이번포스팅은
겁나빡셌어요.
일단 저는 수학을 잘하지 못하기때문에
진짜 고생많이했습니다.
도움이 되었으면 좋겠습니다.
긴글 읽어주셔서 고맙습니다.
